Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

TEMPERATURE DISTRIBUTION OF A MULTILAYER ORTHOTROPIC CYLINDER

Zemenkov Y.D. 1 Moiseev B.V. 2 Nalobin N.V. 1 Dudin S.M. 1
1 FGBOU VO «Tyumen State Oil and Gas University»
2 FGBOU of higher education «The Tyumen state architectural and construction university»
Проблема теплопроводности в многослойном, двухмерном, ортотроповом цилиндре, взаимосвязанная с асимметричным и циклическим распределением температуры по внешней стенке, решена аналитически. Размерный пространственный анализ проблемы показывает, что теплопроводность через цилиндр является функцией числа Био и следующих четырех безразмерных параметров в каждом слое: коэффициента частоты, коэффициента плотности, а также радиального и тангенциального коэффициентов проводимости. Решение обосновано для произвольного числа слоев и было использовано для изучения влияния расположения слоев на внутрислоевую и общую теплопередачу. Как пример, рассматривается цилиндр, состоящий из двух слоев. На основании проведенных исследований авторами опубликована серия работ по температурным режимам в изоляции трубопроводов различных назначений и разных типов прокладок.
The problem of heat conduction in a multi-layer, two-dimensional, orthotropic cylinder interrelated to asymmetric and periodic temperature distribution along the outer wall is solved analytically. Dimensional analysis of the problem shows that heat conduction through the cylinder is a function of the Biot number (Bi) and the following four non-dimensional parameters in each layer: frequency ratio, thickness ratio as well as radial and tangential conduction ratios. The decision is valid for an arbitrary number of layers and has been used to study the effect of layer order on inter-layer and overall heat transfer. As an example, a cylinder composed of two layers is considered. On the basis of the conducted researches by authors a series of works on temperature conditions in isolation of pipelines of various appointments and different types of laying is published.
temperature distribution
multi-layer cylinder
pipeline
composite materials

Использование смешанных материалов значительно возросло за последнее время. Основное преимущество заключается в том, что их теплотехнические свойства отвечают насущным потребностям, и специалистов это особенно интересует. Легко поддающиеся изменению тепловые свойства смешанных материалов в такой же степени могут быть важными для их использования при изоляции трубопроводов. Разница коэффициентов теплопроводности в различных направлениях может привести к тепловому напряжению, поэтому авторы уделяли особое внимание тепловому режиму при теплоизоляции цилиндра, изготовленного с ортотроповым слоем.

Из анализа нормативных расчетных и фактических потерь теплоты трубопроводами выявлены значительные расхождения [4, 5]. В связи с этим и на основании проведенных исследований авторами была опубликована серия работ по температурным режимам в изоляции трубопроводов различных назначений и разных типов прокладок [1, 2, 3, 7].

В современных проектах используют несколько слоев из различных комбинированных материалов. Каждый из этих слоев рассчитан так, чтобы выдержать структурные, тепловые и химические нагрузки, которым может подвергаться конечный продукт. Существует необходимость изучать многослойный ортотропный цилиндр, включая теплопередачу внутренних слоев и всего цилиндра. С такими вопросами сталкиваются при конструировании цистерн для хранения химических веществ, прокладке нефте- и газопроводов. Использование наложения и распада системы Фурье позволило в исследовании применить комплексные графики распределения температуры. Для постановки задачи были приняты основные положения из теории теплообмена [6].

zemen1.tif

Рис. 1. Схема цилиндра

Материалы и методы исследования

На рис. 1 показана схема цилиндра и основных пограничных с ним состояний. Двухмерное нестационарное уравнение теплопроводности для энного ортотропного слоя следующее (1). Ортотропия – неодинаковость физических свойств среды по двум (трем) взаимно перпендикулярным направлениям внутри этой среды и является частным случаем анизотропии.

zem09.wmf

zem10.wmf (1)

Теплопередача обусловливается частными дифференциальными уравнениями в зависимости от количества слоев (N). Требуемые пограничные условия следующие:

zem11.wmf (2)

zem12.wmf (3)

zem13.wmf

zem14.wmf (4)

zem15.wmf (5)

zem16.wmf (6)

где ρn – плотность материала цилиндра; Cp,n – теплоемкость материала; T – температура; τ – время; k – коэффициент теплопроводности; r – радиус; θ – угол; N – количество слоев; N + 1 – внешний радиус цилиндра; n – номер слоя; r – радиальное направление; t – тангенциальное направление; Tв – температура, при которой происходит конвекция во внутреннем радиусе цилиндра; r1 – внутренний радиус цилиндра; ω – частота изменяющейся температуры; zem18.wmf – средняя температура на внешнем радиусе цилиндра; zem19.wmf – величина изменяющейся температуры на внешнем радиусе цилиндра; αK – коэффициент конвекции.

Для достижения постоянной циклической теплопроводности не требуется никакого начального условия. zem20.wmf и Tв были взяты равными нулю, чтобы упростить решение, но это упрощение влияет на потерю всеобщего характера такого решения для циклических компонентов. Влияние zem21.wmf и Tв на общее распределение температуры заключается в использовании наложения. Авторы определяли следующие безразмерные группы:

zem22.wmf

zem23.wmf

zem24.wmf

Используя эти группы, уравнения (1)–(5) переписываем следующим образом:

zem25.wmf (7)

zem26.wmf (8)

zem27.wmf (9)

zem28.wmf (10)

zem29.wmf (11)

Решение к zem30.wmf может быть найдено путем определения вспомогательной задачи zem31.wmf. Объединяя zem32.wmf с zem33.wmf получаем:

zem34.wmf (12)

где R – безразмерный радиус; K – безразмерный коэффициент теплопроводности; Bi – число Био; ? – безразмерная температура; αn – безразмерная частота; ζn – добавочная безразмерная температура; zem35.wmf – безразмерное время.

Применив пограничные условия и осуществив определенные математические вычисления, получаем решение для энного слоя:

zem36.wmf (13)

где zem37.wmf Температура и радиальная теплопроводность в энном слое, соответственно:

zem38.wmf (14)

zem39.wmf (15)

где zem40.wmf, zem41.wmf – температура и радиальная теплопроводность в энном слое; A – комплексная постоянная; B – комплексная постоянная; J – комплексная функция Бесселя первого рода; exp – показатель к основанию e; Re – действительная часть комплексной величины между скобками; ξn – пространственная часть комплекса безразмерной температуры.

Результаты исследования и их обсуждение

Циклическая радиальная теплопроводность в цилиндре, состоящем из N слоев, зависит от 4N параметров. Сочетание важных параметров быстро возрастает с ростом количества слоев. Как простой пример приведен двухслойный цилиндр. Двухслойный цилиндр может состоять из слоя, который несет структурную нагрузку, и изоляционного слоя. Такой подход помогает достичь структурной целостности первого слоя при наличии внешних тепловых нагрузок.

Величины во внутреннем слое n = 1 были установлены на a1 = 3,0, R2 = 1,5 и Kt,1 = 2,0, Kr,1 = 1,0 по определению. Переменные величины параметров во внешнем слое представлены в виде коэффициентов относительно величин во внутреннем слое. Четыре новых параметра определены как следующие: коэффициент плотности x ≡ (R3 – R2)/(R2 – R1), радиальный коэффициент проводимости zem42.wmf = Kr,2/Kr,1, тангенциальный коэффициент проводимости zem43.wmf = Kt,2/Kt,1 и коэффициент частоты a* = a2/a1. Индекс коэффициента используется для определения порядка, в котором расположены слои. Если внешний слой сделан из изоляционного материала, то zem44.wmf < 1,0 и наоборот. Подобные аргументы применены к zem45.wmf, a*.

Результаты зависят от величин радиальной теплопроводности во внутреннем (Qm,1) и поверхностном (Qm,2) радиусах. Qm,2 важна при рассмотрении изменения свойств для внутреннего слоя, когда теплота достигает его через внешний слой. Несколько значений х было использовано. Значения х показаны на рис. 2. Следующие относительные величины были использованы (кроме изучаемого параметра): zem46.wmf = 2,0; zem47.wmf = 2,0; a* = 2,0 и Bi = 0,7.

zemen2a.tif zemen2b.tif

Рис. 2. Влияние Bi на Qm,1 и Qm,2

Рис. 2 показывает изменение в Qm,1 и Qm,2 с Bi. Большое значение Bi указывает на то, что внутренний слой имеет низкий kr и/или высокий αK. Более высокий Bi влияет на более низкое радиальное теплопроводное сопротивление во внутреннем слое. Общее радиальное теплопроводное сопротивление является суммой сопротивлений обоих слоев. Т.к. zem48.wmf – величина постоянная, сопротивление внешнего слоя увеличивается с х. При низкой х радиальное сопротивление соответствует главным образом внутреннему слою. Таким образом, величины Qm,1 и Qm,2 значительно изменяются с Bi при низкой х. Для х > 2,0 сопротивление внешнего слоя преобладает, и влияние Bi на радиальную теплопроводность уменьшается. Для х > 4,0 Bi не оказывает значительного влияния на Qm,1 и Qm,2.

Рис. 3 показывает влияние a* на Qm,1 и Qm,2. Для x < 1,0 изменение в Qmi и Qm,2 с a* различные. При низкой х теплота, проходящая через внешний слой, слегка возрастает с a*, в то время как оно остается относительно постоянным или падает во внутреннем слое. Такой результат подтверждает изоляционное влияние внутреннего слоя с определенными zem49.wmf и zem50.wmf. Когда х > 1,0 как Qm,1, так и Qm,2 уменьшаются с a*. Скорость уменьшения Qm,1 с a* больше, чем у Qm,2, что подтверждает изоляционные свойства внутреннего слоя для данных относительных значений.

zemen3a.tif zemen3b.tif

Рис. 3. Влияние a* на Qm,1 и Qm,2. Примечание: пометки сверху * – параметр относительно его величины во внутреннем слое

zemen4a.tif zemen4b.tif

Рис. 4. Влияние K*r на Qm,1 и Qm,2

Рис. 4 показывает влияние zem52.wmf на Qm,1, и Qm,2. Если zem53.wmf < 1,0, это означает, что внешний слой обеспечивает теплоизоляцию, в то время как, если zem54.wmf > 1,0, то внутренний слой является изолятором. Радиальное сопротивление теплопроводности в слое прямо пропорционально х и обратно пропорционально zem55.wmf, т.к. величины во внутреннем слое постоянны, радиальное сопротивление теплопроводности внутреннего слоя остается постоянным при различных zem56.wmf. Общее сопротивление цилиндра изменяется с изменением сопротивления внешнего слоя. Низкий zem57.wmf означает, что внешний слой является изолятором. Низкий zem58.wmf с относительно плотным внешним слоем (например, х > 0,5) приводит к значительным увеличениям in Qm,1 и Qm,2. Если снижение значений радиальной теплопроводности увеличивается, то плотность внешнего слоя также увеличивается. При высоком zem59.wmf вклад внешнего слоя в общее радиальное теплосопротивление значителен только тогда, когда он сопровождается высотой х. Таким образом, значения Qm,1 и Qm,2 не зависят от изменения zem59.wmf > 4 и х < 0,5.

zemen5a.tif zemen5b.tif

Рис. 5. Влияние K*t на Qm,1 и Qm,2

Рис. 5 показывает влияние zem62.wmf на Qm,1 и Qm,2. Переменный zem63.wmf не имеет значительного влияния на Qm,1. Главной причиной изменений в Qm,1 является х. Влияние zem64.wmf на Qm,2 ограничивается 0,5 < х < 2,0. В этой цепочке увеличение zem65.wmf отражается в снижении в Qm,2. Более высокое значение zem66.wmf означает более низкое тангенциальное сопротивление теплопроводности, и большее количество теплоты, проходящего через внешнюю стенку цилиндра, будет проведено в тангенциальном, а не в радиальном направлении. Низкая х вызывает низкое тангенциальное сопротивление независимо от zem67.wmf. Аналогично, высокое значение x вызывает высокое тангенциальное сопротивление независимо от zem68.wmf.

Выводы

При анализе нормативных, расчетных и фактических потерь теплоты трубопроводами выявлены значительные расхождения. В связи с этим и на основании проведенных исследований авторами была опубликована серия работ по температурным режимам в изоляции трубопроводов различных назначений и разных типов прокладок [1–4].

1. В результате аналитического вычисления получены зависимости (14) и (15), позволяющие определить температуру и радиальную теплопроводность в энном слое (n).

2. Аналитически решены вопросы теплопроводности в многослойном двухмерном ортотроповом цилиндре, взаимосвязанные с ассиметричным и циклическим распределением температуры во внешней стенке.

3. Из теории теплообмена авторы показали, что теплопроводность через цилиндр является функцией числа Био и следующих четырех безразмерных параметров в каждом слое: коэффициента частоты (zem69.wmf), коэффициента плотности (zem70.wmf), а также радиального (zem71.wmf) и тангенциального (zem72.wmf) коэффициентов проводимости. Были построены графики зависимости.

Исследования выполнялись на основании целевой и комплексной программы «Нефть и газ Западной Сибири».