Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

NONLOKAL PROBLEM FOR THE LOADED EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS

Nakhusheva F.B. 1
1 FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. Kh. M. Berbekov»
Исследован вопрос однозначной разрешимости нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
Nonlokal problem investigated for the loaded equation for the third order with multiple characteristics.
Bitsadze – Samarskii problem
Cauchy problem
Volterr equation
Green’s function

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. В частности, многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа.

Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Исследованием локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных и ненагруженных уравнений занимались авторы
[2 – 10]. Подробная библиография работ содержится в [6, 7].

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи.

Рассмотрим уравнение

fah1.wmf (1)

где fah2.wmf в конечной области Ω, плоскости переменных x и y, ограниченных отрезками AA0, A0B0, B0B прямых x = 0, x = l,
y = h соответственно и характеристиками AC: x + y = 0, BC: x – y = l уравнения (1).

Обозначим через fah3.wmfи fah4.wmf.

Задача. Найти функцию

fah5.wmf,

удовлетворяющую уравнению (1) в fah6.wmf и условиям

fah7.wmf (2)

fah8.wmf (3)

fah9.wmf fah10.wmf (4)

где fah11.wmf fah12.wmf заданные функции, непрерывные в замыкании области их задания, причем fah13.wmf.

Доказательство существования и единственности решения задачи.

Пусть fah14.wmfи fah15.wmf, где fah16.wmf. Переходя в уравнении (1) к пределу при fah17.wmf получим функциональное соотношение между fah18.wmf, принесенное из области Ω1 на AB

fah19.wmf (5)

В области Ω2 решение задачи Коши для уравнения (1) при fah20.wmf имеет вид [1]

fah21.wmf.

Удовлетворяя последнее условию (4) при fah22.wmf, получим функциональное соотношение, принесенное из области Ω2 на линию АВ

fah23.wmf (6)

Исключая fah24.wmf из (5) и (6), получим следующую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка

fah25.wmf (7)

fah26.wmf (8)

Задача (7) и (8) решается обычным методом вариации произвольных постоянных. По найденному t(x) определяется n(x) из соотношения (6) и решение задачи (1) – (4) в области Ω2 как решение задачи Коши.

После определения t(x) в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и fah27.wmf, решение которой имеет вид [2]

fah28.wmf (9)

где

fah29.wmf

Функция Грина fah30.wmf – представляется через фундаментальные решения, имеющие вид [2], [3]

fah31.wmf

fah32.wmf

где

fah33.wmf

fah34.wmf функция Бесселя, f(t) и j(t) – функции Эйри.

Удовлетворяя (9) условию (3), получим интегральное уравнение Вольтера второго рода относительно функции fah35.wmf:

fah36.wmf

где ядро fah37.wmf – выражается через известные функции, которое безусловно и однозначно разрешимо.

Пусть теперь fah38.wmf. В этом случае решение уравнения (1) непрерывное в fah39.wmf с непрерывными производными до второго порядка включительно в Ω2 дается формулой [3]

fah40.wmf (10)

где fah41.wmf – функции Бесселя нулевого и первого порядков.

Удовлетворяя (10) условию (4), получим

fah42.wmf (11)

где fah43.wmf.

Уравнение (11) является уравнением Вольтерра второго рода относительно функции fah44.wmf и его решение можно выписать с помощью резольвенты fah45.wmf ядра в виде

fah46.wmf

Подставляя значение функции u(x) в (5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно t(x):

fah47.wmf,

где q(x), F(x) – выражаются через известные функции

fah48.wmf,

fah49.wmf,

fah50.wmf

Интегрируя уравнение трижды от 0 до x с учетом (8), будем иметь

fah52.wmf

После определения t(x) в области Ω1 снова приходим к задаче (1), (2), fah53.wmf решение которой дается формулой (9). В области Ω2 решение задачи определяется по формуле (10). Следовательно, решение задачи однозначно определяется в областях Ω1 и Ω2.