В данной работе рассматриваются некоторые итерационные схемы для уравнения Навье-Стокса. Доказывается скорость сходимости решения итерационного метода.
Рассмотрим в ограниченной области Ω с границей S краевую задачу для уравнения Стокса
(1)
(2)
Задача (1), (2) была исследована в работах [1, 2] методом фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам
, в D 
(3)
(4)
где область D, строго содержит в себе область Ω, S1 - граница области D. На практике в качестве области D берется прямоугольник или квадрат. τ - касательный вектор к границе S1. В [1] исследована сходимость решения задачи (3)-(4) к решению задачи (1)-(2) при ε → 0. Дальнейшие обозначения взяты из работы [3]. Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую задачу (3), (4):
в Qh,
в Gh, (5)
в ωh,
с граничными условиями
(6)
Рассмотрим неявную схему типа крупных частиц:
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Теорема 1. Решение итерационного метода (7)-(11) сходится к решению задачи (5), (6).
Доказательство. Обозначим
Тогда для ω, q получаем уравнения
(12)
при этом для ωn+1/2, ωn+1, qn+1 - сохраняются граничные условия (6). Решение этих уравнений удовлетворяет тождествам:
(13)
(14)
Отсюда следует, что
(15)
и используя неравенство Фридрихса, имеем
.
Список литературы
-
Куттыкожаева Ш.Н. Метод фиктивных областей для уравнений Навье-Стокса. Вестник КазГУ, сер. Мех-мат. Инф. - 1998. - №13. - С. 54-59.
-
Смагулов Ш., Темирбеков Н.М., Камаубаев К.С. Моделирование методом фиктивных областей граничного условия для давления в задачах течения вязкой жидкости // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2000. - Т.3, №1. - С. 57-71.
-
Самарский А.А. Теория разностных схем // Наука. - 1997. - С. 653.